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LTI Systems and Fourier Transform ​

字数 7,462｜阅读时间 15 分钟｜Ayaskt
2026/06/17 19:13:33 CST

章节目录 ​

3-1 系统模型 System Model ​

3-1-1 系统作为算子 System as Operator ​

系统算子框图

系统 System

系统 System 是把输入信号映射为输出信号的数学模型。它描述某个物理过程、算法或电路对信号的作用。

系统常写作算子形式：

或省略花括号：

其中：

  • ：输入信号 Input / Excitation；
  • ：输出信号 Output / Response；
  • ：系统算子 Operator。

算子把函数映射为函数。它处理整段信号，输入输出对象都是时间函数。

3-1-2 系统连接 System Connections ​

系统可以串联或并联。

系统串联连接

串联连接写作：

并联连接写作：

通信链路中常见串联结构，例如发射滤波器、信道、接收滤波器依次作用。并联结构常用于多径叠加、滤波器组和 I/Q 分支。

3-2 基本系统性质 Basic System Properties ​

3-2-1 记忆性 Memory ​

无记忆系统 Memoryless System

无记忆系统 Memoryless System 在任意时刻 的输出 只依赖同一时刻的输入 。

有记忆系统 System with Memory

有记忆系统 System with Memory 在某时刻的输出依赖其他时刻的输入，例如过去输入或未来输入。

理想放大器：

是无记忆系统。电容、电感和滤波器通常有记忆，因为它们的输出与之前储存的能量或过去输入有关。

3-2-2 因果性 Causality ​

因果系统 Causal System

因果系统 Causal System 在时刻 的输出只依赖 的输入，即当前和过去输入。

非因果系统 Noncausal System

非因果系统 Noncausal System 在某时刻的输出依赖未来输入。实时物理系统不能依赖未来输入。

RC 电路的因果和记忆性

RC 电路是因果且有记忆的系统。电容电压由过去电流累积决定：

积分上限是当前时刻 ，因此它不需要未来输入；积分区间包含过去时刻，因此它有记忆。

3-2-3 线性 Linearity ​

可加性 Additivity

系统满足 可加性 Additivity，若对任意输入 、 有：

齐次性 Homogeneity

系统满足 齐次性 Homogeneity，若对任意标量 有：

线性系统 Linear System

线性系统 Linear System 同时满足可加性和齐次性。等价地，对任意 ：

线性系统允许使用叠加原理。通信中的小信号放大器、滤波器和许多信道模型都常用线性近似。

3-2-4 时不变性 Time Invariance ​

时不变系统 Time-Invariant System

时不变系统 Time-Invariant System 满足：若输入 的输出为 ，则输入延迟 后，输出也只延迟同样的 。

判断时不变性时，比较两件事：

  1. 先输入 ，得到输出 ，再把输出延迟为 ；
  2. 先把输入延迟为 ，再送入系统。

若两者对任意 和 都相同，系统时不变。

例：系统定义为：

令 ，则：

而原输出延迟为：

两者相同，因此该系统时不变。

3-3 LTI 系统和卷积 LTI Systems and Convolution ​

3-3-1 LTI 系统 Linear Time Invariant System ​

线性时不变系统 Linear Time-Invariant System

线性时不变系统 Linear Time-Invariant System, LTI System 同时满足线性和时不变性。

LTI 系统是通信系统中最重要的模型之一。许多真实系统在一定工作范围内可以近似为 LTI 系统，例如小信号滤波器、线性信道和线性均衡器。

对连续时间 LTI 系统：

其中 是系统冲激响应， 表示卷积。

3-3-2 冲激响应 Impulse Response ​

LTI 系统冲激响应框图

冲激响应 Impulse Response

冲激响应 Impulse Response 是 LTI 系统在输入为单位冲激 时的输出，记为 。

冲激响应完全表征 LTI 系统。若知道 ，对任意输入 都可以由卷积求输出：

这条关系把“测系统”变成“测一个冲激响应”。

3-3-3 卷积积分 Convolution Integral ​

卷积 Convolution

连续时间信号 和 的 卷积 Convolution 定义为：

卷积的计算可以看成四步：

  1. 保留 ；
  2. 将 翻转为 ；
  3. 平移得到 ；
  4. 对重叠部分相乘并积分。

对 LTI 系统，卷积中的 给出各时刻输入对当前输出的权重。若系统因果，即 ，则当前输出只依赖当前和过去输入。

3-3-4 卷积例题 Convolution Example ​

PROBLEM L3-E1

设 LTI 系统输入和冲激响应为：

求输出 。

SOLUTION

由卷积定义：

两个矩形脉冲有重叠时才有非零输出。

当 时，无重叠：

当 时，重叠区间为 ：

当 时，重叠区间为 ：

当 时，无重叠：

因此：

卷积得到的三角形输出

3-3-5 复指数特征函数 Complex Exponential Eigenfunctions ​

特征函数 Eigenfunction

若系统对输入函数的输出只改变幅度和相位，而函数形式保持同类，则该输入函数称为系统的 特征函数 Eigenfunction。

对 LTI 系统，复指数 是所有 LTI 系统的特征函数。令输入：

则：

其中：

也就是冲激响应的 Fourier 变换。LTI 系统对每个频率分量只做复数乘法。

3-4 通信信道的 LTI 模型 LTI Channel Modelling ​

3-4-1 多径信道 Multipath Channel ​

多径信道模型

多径传播 Multipath Propagation

多径传播 Multipath Propagation 指同一发射信号经过直达路径和反射路径等多个路径到达接收机，各路径具有不同衰减和时延。

若发射信号为 ，第 条路径的增益为 ，时延为 ，则接收信号可建模为：

利用冲激的平移性质：

因此：

多径信道的冲激响应为：

3-4-2 逆系统和均衡 Inverse System and Equalisation ​

若信道满足：

理想恢复希望构造逆系统：

在通信中，这类补偿称为 均衡 Equalisation。实际系统中存在噪声、带宽限制和信道零点，逆系统不能无限放大某些频率，因此均衡器通常只能近似补偿。

3-5 傅里叶级数 Fourier Series ​

3-5-1 周期信号展开 Periodic Signal Expansion ​

傅里叶级数 Fourier Series

傅里叶级数 Fourier Series 将周期信号表示为一组谐波复指数的线性组合。

设周期复信号 的周期为 ，基波角频率为：

则：

系数为：

3-5-2 谐波和直流分量 Harmonics and DC Component ​

是 直流分量 DC Component：

对应基波频率 ， 对应整数倍谐波。

以单位幅度、零均值的奇对称方波为例，它可以由奇次谐波逐步逼近：

加入越多谐波，时域波形越接近方波；频域中则表现为更多离散谱线。

3-6 傅里叶变换 Fourier Transform ​

3-6-1 正变换和反变换 Forward and Inverse Transform ​

傅里叶变换 Fourier Transform

连续时间信号 的 傅里叶变换 Fourier Transform 定义为：

反变换为：

记作：

傅里叶级数主要处理周期信号；傅里叶变换可以处理非周期信号，也可以通过广义函数处理周期信号。

3-6-2 矩形脉冲例题 Rectangular Pulse Example ​

矩形脉冲时域图

PROBLEM L3-E2

设：

求 的 Fourier 变换。

SOLUTION

由定义：

积分可得：

因此矩形脉冲的频谱是 sinc 形状：

时间伸缩性质为：

时间拉宽会使频谱变窄，时间压缩会使频谱变宽。

3-6-3 冲激变换 Impulse Transform ​

设：

由冲激抽样性质：

因此：

时域中无限窄的冲激，对应频域中所有频率成分等幅存在。

3-7 傅里叶变换性质 Fourier Transform Properties ​

3-7-1 线性 Linearity ​

若：

则：

Fourier 变换保持线性组合。

3-7-2 时移和调制 Shifting and Modulation ​

若：

时域平移性质为：

延迟不会改变幅度谱，只引入线性相位。

调制性质为：

乘上复指数会把频谱整体搬移 。Lecture 4 的基带到通带变换直接使用这条性质。

3-7-3 对偶性 Duality ​

若：

则：

对偶性来自正变换和反变换的结构对称：

3-7-4 卷积性质 Convolution Property ​

若：

则：

时域卷积对应频域乘法。对 LTI 系统：

因此频域中：

3-7-5 Parseval 定理 Parseval Theorem ​

Parseval 定理 Parseval Theorem

若 ，则：

Parseval 定理说明信号能量可以在时域或频域中计算。差异只来自本课程采用的 形式 Fourier 变换中的 系数。

3-8 频率响应和滤波器 Frequency Response and Filters ​

3-8-1 LTI 频率响应 Frequency Response of LTI Systems ​

频率响应框图

频率响应 Frequency Response

LTI 系统冲激响应 的 Fourier 变换称为 频率响应 Frequency Response：

由卷积性质：

对应：

所以 LTI 系统在频域中对每个频率分量乘以一个复数 。

3-8-2 幅度响应和相位响应 Magnitude and Phase Response ​

一般情况下， 是复值函数。可写为：

幅度响应 Magnitude Response

幅度响应 Magnitude Response 是 ，表示系统对不同频率分量幅度的放大或衰减。

相位响应 Phase Response

相位响应 Phase Response 是 ，表示系统对不同频率分量引入的相位变化。

由：

得到：

因此系统的幅度响应改变输出幅度谱，相位响应改变输出相位谱。

3-8-3 理想滤波器 Ideal Filters ​

滤波器 Filter

滤波器 Filter 是选择性通过某些频率分量、衰减或抑制其他频率分量的系统。

理想低通滤波器：

理想低通响应

理想高通滤波器：

理想高通响应

理想带通滤波器：

理想带通响应

低通用于保留基带，高通用于去除低频成分，带通用于选择载波附近的频带。

3-9 复习重点 Review Checklist ​

3-9-1 本讲公式 Formula List ​

内容公式
系统算子
线性
时不变性
LTI 输出
卷积
复指数响应
Fourier 级数
Fourier 系数
Fourier 变换
反变换
频率响应
Parseval

3-9-2 常见判断 Common Decisions ​

系统题常用判断顺序：

  1. 判断是否有记忆；
  2. 判断是否因果；
  3. 判断是否满足可加性；
  4. 判断是否满足齐次性；
  5. 判断是否时不变；
  6. 若线性且时不变，用冲激响应和卷积求输出；
  7. 若进入频域，用 。

Fourier 题常用判断顺序：

  1. 周期信号优先考虑 Fourier series；
  2. 非周期信号优先考虑 Fourier transform；
  3. 出现平移用时移性质；
  4. 出现乘复指数用调制性质；
  5. 出现 LTI 系统用卷积性质；
  6. 出现能量计算用 Parseval 定理。

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